複雑な関数 $e^x$ や $\sin x$ を、足し算・引き算・掛け算だけの多項式で近似できたら便利だと思いませんか？ テイラー展開（Taylor expansion）は、関数の各点での微分係数を使って、その関数を多項式（無限級数）で表現する方法です。極限計算、近似計算、不等式の証明など、微分法の応用の中でも最も強力なツールの一つです。
関数 $f(x)$ の振る舞いを $x = a$ の近くで理解したいとき、もっとも素朴な近似は $f(x) \approx f(a)$（定数近似）です。しかしこれでは「$x = a$ での値」しかわかりません。
もう少し情報を加えましょう。$f(a)$ に加えて $f'(a)$（傾き）の情報も使えば、$x = a$ での接線
$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$
が得られます。これが1次近似（線形近似）です。接線は $x = a$ の近くで曲線をよく近似しますが、$x$ が $a$ から離れると誤差が大きくなります。
さらに $f''(a)$（曲がり具合）の情報も使うと
$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2$$
という2次近似が得られます。これは曲線の「曲がり方」まで一致する放物線です。
このように、微分係数を $f'(a), f''(a), f'''(a), \ldots$ と次々に使うことで、近似の精度をどんどん上げることができます。これがテイラー展開の基本的なアイデアです。
テイラー展開とは、$x = a$ における関数値・傾き・曲がり具合・・・の情報を多項式の係数に「翻訳」する操作です。
$n$ 次まで展開すれば、$x = a$ で $f$ と $n$ 階微分まで一致する多項式が得られます。つまり $n$ を増やすほど、より広い範囲で関数を正確に近似できます。
✕ 誤：$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$
○ 正：$e^x \approx 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$（2次近似）、または $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + R_2(x)$（剰余項付き）
有限項で打ち切る場合は近似式であり、等号は成り立ちません。等号が成り立つのは、無限級数として収束する場合のみです。
$x = a$ における $n$ 次のテイラー多項式は、$x = a$ で $f$ と $0$ 階から $n$ 階微分まですべて一致する唯一の $n$ 次多項式です。この条件を満たす多項式は一つしかなく、$x = a$ の近くでの誤差が $(x-a)^{n+1}$ のオーダーで小さくなるという意味で最良の近似になります。
前セクションの直感を定理として厳密に述べましょう。
$f(x)$ が $x = a$ を含む区間で $n+1$ 回微分可能であるとき：
$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)$$
ここで $f^{(k)}(a)$ は $f$ の $k$ 階導関数の $x=a$ での値、$k! = k \times (k-1) \times \cdots \times 1$（$0! = 1$）、$R_n(x)$ は剰余項（誤差を表す項）
右辺の $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ の部分を $x = a$ における$n$ 次のテイラー多項式と呼びます。展開して書くと
$$f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
となります。セクション1で見た0次・1次・2次の近似が、この一般的な公式に統一されていることがわかります。
テイラー展開で $a = 0$ とした場合を特にマクローリン展開（Maclaurin expansion）と呼びます：
$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$
多くの関数は $x = 0$ の周りで展開するのが最も簡単なので、マクローリン展開を使う場面が圧倒的に多いです。
$a$ と $x$ の間に適当な $c$ が存在して：
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
$c$ の正確な値はわからないが、$a$ と $x$ の間にあることが保証される。不等式の証明や誤差評価に使う。
ラグランジュの剰余項は、$n$ 次のテイラー多項式で近似したときの「打ち切り誤差」を正確に表しています。$|f^{(n+1)}(c)|$ の値を上から評価できれば、近似の精度を定量的に保証できます。
✕ 誤：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2 + \cdots$
○ 正：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$
$k$ 次の項の係数は $\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ です。$k!$ を忘れると展開が正しくなりません。なぜ $k!$ が出るかは、$(x-a)^k$ を $k$ 回微分すると $k!$ になることから理解できます。
$n = 1$ のとき、テイラーの定理は $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2$ です。
$g(t) = f(x) - f(t) - f'(t)(x-t)$ とおくと、$g(x) = 0$ です。
$h(t) = g(t) - \dfrac{(x-t)^2}{(x-a)^2}g(a)$ とおくと $h(a) = 0$, $h(x) = 0$ です。
ロルの定理より、$a$ と $x$ の間に $h'(c) = 0$ を満たす $c$ が存在します。
$h'(t)$ を計算すると $g(a) = \dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2$ が得られ、$g(a) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ なので定理が示されます。
$n \to \infty$ で $R_n(x) \to 0$ となるとき、テイラー展開は無限級数（テイラー級数）として等号が成り立ちます。$e^x$, $\sin x$, $\cos x$ は任意の $x$ でテイラー級数に収束しますが、すべての関数がそうとは限りません。たとえば $f(x) = e^{-1/x^2}$（$x \neq 0$）, $f(0) = 0$ は $x = 0$ でのマクローリン級数が恒等的に $0$ となり、$f$ 自身には収束しません。
以下のマクローリン展開は、極限計算・近似計算・不等式の証明などで頻繁に使います。導出方法を理解した上で、結果を暗記しましょう。
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$
任意の実数 $x$ で収束する。$f^{(k)}(x) = e^x$ なので $f^{(k)}(0) = 1$（全次数の係数が $1/k!$）
$f(x) = e^x$ とすると、$f'(x) = e^x$, $f''(x) = e^x$, ... つまり $f^{(k)}(x) = e^x$ です。
$x = 0$ を代入すると $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$ が全ての $k$ で成り立ちます。
よって $e^x = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}x^k + R_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)$
ラグランジュの剰余項 $R_n(x) = \dfrac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}$（$c$ は $0$ と $x$ の間）で、$n \to \infty$ のとき $R_n(x) \to 0$ なので等号が成り立ちます。
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$
奇数次の項のみ。符号が交互に変わる。任意の実数 $x$ で収束する。
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}$$
偶数次の項のみ。$\sin x$ を微分すると $\cos x$ の展開が得られることも確認できる。
$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} x^k \quad (|x| < 1)$$
等比級数の和の公式そのもの。$|x| \geq 1$ では発散する。
$$( 1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots \quad (|x| < 1)$$
$\alpha$ が正の整数のときは有限項で終わり（通常の二項定理）、それ以外のとき無限級数になる。
以下の表にまとめます。
| 関数 | マクローリン展開 | 収束範囲 |
|---|---|---|
| $e^x$ | $1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$ | $-\infty < x < \infty$ |
| $\sin x$ | $x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ | $-\infty < x < \infty$ |
| $\cos x$ | $1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots$ | $-\infty < x < \infty$ |
| $\dfrac{1}{1-x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $|x| < 1$ |
| $(1+x)^{\alpha}$ | $1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$ | $|x| < 1$ |
$\sin x$ は奇関数（$\sin(-x) = -\sin x$）なので、マクローリン展開には奇数次の項しか現れません。同様に $\cos x$ は偶関数（$\cos(-x) = \cos x$）なので偶数次の項のみです。関数の対称性と展開の形が一致していることを確認しましょう。
✕ 誤：$\dfrac{1}{1+x} = 1 + x + x^2 + \cdots$
○ 正：$\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$（$x$ を $-x$ に置き換える）
$\dfrac{1}{1-x}$ の公式で $x$ を $-x$ に置き換えれば $\dfrac{1}{1+x}$ の展開が得られます。符号が交互に変わることに注意してください。
$e^x$, $\sin x$, $\cos x$ のマクローリン展開を見比べると、$e^{ix} = \cos x + i\sin x$（オイラーの公式）が自然に導かれます。$e^{ix}$ の展開で実部と虚部を分けると $\cos x$ と $\sin x$ の展開がそのまま出てくるのです。これは大学数学の複素関数論で重要な役割を果たします。
$\dfrac{0}{0}$ 型の不定形の極限を求める際、テイラー展開で分子・分母を多項式に「翻訳」してから計算する方法は、ロピタルの定理に代わる強力な手段です。
$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \cdots$ より
$e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \cdots$
$$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \xrightarrow{x \to 0} \frac{1}{2}$$
$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$ より
$\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
$$\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \xrightarrow{x \to 0} -\frac{1}{6}$$
ロピタルの定理は「1回微分して不定形が解消するか確認」を繰り返す必要がありますが、テイラー展開では必要な次数まで一気に展開して、最低次の項を読み取るだけで答えが出ます。特に $\dfrac{0}{0}$ が高い次数で解消する場合（ロピタルを何回も適用する場合）に威力を発揮します。
テイラー展開を有限項で打ち切ると、数値の近似計算ができます。
$(1+x)^{1/2} \approx 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + \cdots$ に $x = 0.02$ を代入すると
$\sqrt{1.02} \approx 1 + \dfrac{1}{2}(0.02) - \dfrac{1}{8}(0.02)^2 = 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$
（真の値は $1.00995049\ldots$ なので、小数第5位まで正確）
テイラー展開と剰余項を使うと、不等式を美しく証明できます。
テイラーの定理（$n = 1$, $a = 0$）より、$0$ と $x$ の間に $c$ が存在して
$$e^x = 1 + x + \frac{e^c}{2}x^2$$
$e^c > 0$ かつ $x^2 \geq 0$ なので $\dfrac{e^c}{2}x^2 \geq 0$。
よって $e^x \geq 1 + x$。等号は $x = 0$ のときのみ成立。 $\square$
✕ 誤：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$ で $e^x \approx 1 + x$ と1次近似を使い「$\dfrac{0}{x^2}$ で $0$」
○ 正：分子の最低次が $x^2$ なので、少なくとも $e^x$ を2次まで展開する必要がある
分母が $x^n$ なら、分子も $n$ 次まで展開しないと極限値が出ません。展開次数の「不足」は最もよくある間違いです。
✕ 誤：$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ なので常に $e^x \geq 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$
○ 正：3次の剰余項 $R_2(x) = \dfrac{e^c}{6}x^3$ は $x < 0$ のとき負になりうるので、$e^x \geq 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ が常に成り立つとは限らない
不等式の証明では、剰余項の符号を慎重に評価する必要があります。$e^x \geq 1 + x$ の証明で $R_1(x) = \dfrac{e^c}{2}x^2 \geq 0$ が使えたのは、$x^2 \geq 0$ が常に成り立つからです。
物理学ではテイラー展開による近似が至る所で使われます。たとえば振り子の運動で $\sin\theta \approx \theta$（微小角近似）とするのは、$\sin$ のマクローリン展開の1次の項を取ったものです。量子力学、相対性理論、流体力学など、あらゆる分野でテイラー展開は「物理現象を解析可能にする」ための基本ツールです。
テイラー展開は、微分法の知識を「関数の多項式近似」という新しい視点に変換するものです。ここまでの学習内容のつながりを確認しましょう。
Q1. $e^x$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで書け。
Q2. $\sin x$ のマクローリン展開に偶数次の項が現れない理由を述べよ。
Q3. テイラーの定理における剰余項 $R_n(x)$ のラグランジュ形を書け。
Q4. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4}$ をテイラー展開を用いて求めよ。
Q5. テイラー展開を用いて $e^x \geq 1 + x$ を証明する際の要点を述べよ。
$f(x) = \log(1 + x)$ のマクローリン展開を $x^4$ の項まで求めよ。
$f(x) = \log(1+x)$, $f(0) = 0$
$f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$, $f'(0) = 1$
$f''(x) = -\dfrac{1}{(1+x)^2}$, $f''(0) = -1$
$f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$, $f'''(0) = 2$
$f^{(4)}(x) = -\dfrac{6}{(1+x)^4}$, $f^{(4)}(0) = -6$
$$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$
一般に $\log(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}x^k$（$-1 < x \leq 1$）です。$\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots$ を項別積分しても得られます。
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3}$ を求めよ。
$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \cdots$
$e^{-x} = 1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} + \cdots$
$e^x - e^{-x} = 2x + \dfrac{2x^3}{6} + \cdots = 2x + \dfrac{x^3}{3} + \cdots$
$e^x - e^{-x} - 2x = \dfrac{x^3}{3} + \cdots$
$$\frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} = \frac{1}{3} + \cdots \xrightarrow{x \to 0} \frac{1}{3}$$
$x > 0$ のとき $\sin x > x - \dfrac{x^3}{6}$ が成り立つことを証明せよ。
テイラーの定理（$n = 3$, $a = 0$）より、$0$ と $x$ の間に $c$ が存在して
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{f^{(4)}(c)}{4!}x^4 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin c}{24}x^4$$
ここで $\sin$ の4階導関数は $\sin x$ です。
$x > 0$ のとき $0 < c < x$ なので・・・ しかし $\sin c$ の符号は $c$ によります。
そこで $n = 4$ まで展開します。$0$ と $x$ の間に $c$ が存在して
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\cos c}{24}x^4 \cdot 0 + \frac{\cos c'}{120}x^5$$
別の方法：$g(x) = \sin x - x + \dfrac{x^3}{6}$ とおく。$g(0) = 0$, $g'(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2}$。
$\cos x$ のマクローリン展開より $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots$ なので
$g'(x) = \dfrac{x^4}{24} - \cdots > 0$（$x > 0$ で十分小さい $x$ のとき明らか、一般には $g''(x) = -\sin x + x \geq 0$（$x \geq 0$ で $x \geq \sin x$）より $g'$ は単調増加、$g'(0) = 0$ なので $x > 0$ で $g'(x) > 0$）。
$g(0) = 0$ かつ $x > 0$ で $g'(x) > 0$ なので $g(x) > 0$。
よって $\sin x > x - \dfrac{x^3}{6}$（$x > 0$）。 $\square$
テイラー展開の各打ち切りで交互に上からの評価・下からの評価が得られるという性質（交代級数の性質）を利用しています。$\sin x$ の展開は符号が交互なので、奇数次で打ち切ると下からの評価、偶数次で打ち切ると上からの評価になります。
マクローリン展開を用いて $e$ の値を小数第3位まで正確に求めたい。$e^x$ の展開を何次の項まで取ればよいか。
$e = e^1$ なので $x = 1$ を代入する。
$e = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} + R_n$ ただし $R_n = \dfrac{e^c}{(n+1)!}$（$0 < c < 1$）
$0 < c < 1$ より $e^c < e < 3$ なので $|R_n| < \dfrac{3}{(n+1)!}$
小数第3位まで正確にするには $|R_n| < 0.0005$ が必要。
$n = 6$：$\dfrac{3}{7!} = \dfrac{3}{5040} \approx 0.000595 > 0.0005$
$n = 7$：$\dfrac{3}{8!} = \dfrac{3}{40320} \approx 0.0000744 < 0.0005$ ✓
よって $n = 7$（$x^7$ の項まで）取れば十分。
$e \approx 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{120} + \dfrac{1}{720} + \dfrac{1}{5040} \approx 2.71825...$
（真の値 $e = 2.71828...$）
ラグランジュの剰余項を使って誤差を上から評価し、必要な精度を満たす次数を決定するのが定石です。$e^c < 3$ という粗い評価でも実用的な結果が得られます。