接線の方程式（基本）
─ 微分係数が決める「曲線に触れる直線」

1接線と微分係数

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(a, f(a))$ における接線とは、点 $\mathrm{P}$ において曲線に「触れる」直線のことです。

前回までに学んだように、接線の傾きは微分係数 $f'(a)$ です。割線の傾き（平均変化率）の極限として接線の傾き（微分係数）が得られるのでした。

2接線の方程式の公式

接線の方程式を求める手順

1. 接点の $x$ 座標 $a$ を確認する
2. $f(a)$ を計算する（接点の $y$ 座標）
3. $f'(x)$ を求め、$f'(a)$ を計算する（接線の傾き）
4. 公式 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ に代入する

3接線の方程式の計算例

例1：2次関数

問：$y = x^2 - 2x + 3$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。

$f(1) = 1 - 2 + 3 = 2$、$f'(x) = 2x - 2$ より $f'(1) = 0$

$$y - 2 = 0 \cdot (x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = 2$$

$x = 1$ は放物線の頂点であり、接線は水平線です。

例2：3次関数

問：$y = x^3 - 3x$ の $x = 2$ における接線の方程式を求めよ。

$f(2) = 8 - 6 = 2$、$f'(x) = 3x^2 - 3$ より $f'(2) = 9$

$$y - 2 = 9(x - 2) \quad \Longrightarrow \quad y = 9x - 16$$

例3：原点で接する場合

問：$y = x^3 + x$ の原点における接線の方程式を求めよ。

$f(0) = 0$、$f'(x) = 3x^2 + 1$ より $f'(0) = 1$

$$y - 0 = 1 \cdot (x - 0) \quad \Longrightarrow \quad y = x$$

4接線が通る点の条件

接点が与えられる場合と通る点が与えられる場合

接線の問題には2つのタイプがあります。

通る点が指定される場合の解法

例：$y = x^2$ の接線で、点 $(2, 3)$ を通るものを求めよ。

接点を $(t, t^2)$ とおくと、$f'(t) = 2t$ なので接線は $y - t^2 = 2t(x - t)$ すなわち $y = 2tx - t^2$

この接線が $(2, 3)$ を通るので $3 = 4t - t^2$、すなわち $t^2 - 4t + 3 = 0$、$(t-1)(t-3) = 0$

$t = 1$ のとき $y = 2x - 1$、$t = 3$ のとき $y = 6x - 9$

5接線と法線

法線の定義

曲線上の点 $\mathrm{P}$ における法線とは、接線に垂直で点 $\mathrm{P}$ を通る直線です。

例：法線の方程式

$y = x^2$ の $x = 1$ における法線：$f'(1) = 2$ なので

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$$