導関数の計算（和・差・定数倍）
─ 微分計算の基本ルールをマスターする

1導関数の線形性

2多項式関数の微分

微分計算の手順

1. 各項に $(x^n)' = nx^{n-1}$ と定数倍の法則を適用
2. 定数項は $0$ になる
3. 同類項をまとめる（必要なら）

計算例

例1：$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 7$

$$f'(x) = 12x^2 - 12x + 2$$

例2：$f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 5$

$$f'(x) = x^2 - x$$

例3：$f(x) = -2x^4 + 3x^3 - x + 8$

$$f'(x) = -8x^3 + 9x^2 - 1$$

3展開してから微分

数学IIでは積の微分法則を学びません。そのため、関数が積の形で与えられた場合は、まず展開してから微分します。

例1：$(x + 1)(x - 3)$ の微分

$$f(x) = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$$

$$f'(x) = 2x - 2$$

例2：$(x^2 + 1)(x - 2)$ の微分

$$f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$$

$$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$

例3：$(2x - 1)^2$ の微分

$$f(x) = 4x^2 - 4x + 1$$

$$f'(x) = 8x - 4$$

4微分の計算演習

練習問題

次の関数を微分せよ。

$f(x)$	$f'(x)$
$2x^3 + 5x^2 - x + 4$	$6x^2 + 10x - 1$
$-x^4 + 3x^2 - 2$	$-4x^3 + 6x$
$\dfrac{2}{3}x^3 - 4x$	$2x^2 - 4$
$(x - 1)(x + 2)$	$2x + 1$（展開後に微分）
$(x + 3)^2$	$2x + 6$（展開後に微分）
$x(x - 1)(x + 1)$	$3x^2 - 1$（展開後に微分）

計算ミスを防ぐコツ

• 各項ごとに「指数 × 係数」を書き、「指数 - 1」を新しい指数にする
• 定数項を $0$ にし忘れない
• $x$ の項は $(cx)' = c$ であることを意識する
• 積の形は必ず展開してから微分する

5導関数の意味と活用の見通し

導関数 $f'(x)$ が求められるようになったことで、次のことが可能になります。

導関数で分かること

• 接線の方程式：$f'(a)$ が接線の傾き → $y - f(a) = f'(a)(x - a)$
• 関数の増減：$f'(x) > 0$ の区間で増加、$f'(x) < 0$ の区間で減少
• 極値：$f'(a) = 0$ かつ前後で符号が変わる点で極値
• 最大最小：極値と端点の値を比較
• 方程式の実数解：グラフの概形から解の個数を判定