対数の計算法則
─ 「かけ算を足し算に変える」魔法の仕組み

1対数の計算法則 ─ 3つの法則の全体像

対数の計算法則を学ぶ前に、対数の定義を確認しておきましょう。$a > 0$、$a \neq 1$、$M > 0$ のとき、

$$a^p = M \iff p = \log_a M$$

つまり「$a$ を何乗したら $M$ になるか」を表す数が $\log_a M$ です。この定義から、すぐにわかる基本的な性質があります。

$$\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$$

$a^0 = 1$ だから $\log_a 1 = 0$、$a^1 = a$ だから $\log_a a = 1$ です。

3つの計算法則

対数には次の3つの計算法則があり、これらが対数計算の核心です。

法則の対応関係

指数法則	対数の計算法則	変換の意味
$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$	$\log_a MN = \log_a M + \log_a N$	積 → 和
$a^p \div a^q = a^{p-q}$	$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$	商 → 差
$(a^p)^k = a^{pk}$	$\log_a M^k = k \log_a M$	べき → 定数倍

2積の対数 ─ なぜかけ算が足し算になるのか

法則の証明

$\log_a MN = \log_a M + \log_a N$ を証明しましょう。この証明を通して「なぜ成り立つか」が見えてきます。

具体例で確認する

$\log_2 8 + \log_2 4$ を計算してみましょう。

$$\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \times 4) = \log_2 32 = 5$$

確認：$\log_2 8 = 3$（$2^3 = 8$）、$\log_2 4 = 2$（$2^2 = 4$）なので、$3 + 2 = 5$。確かに一致します。

法則の拡張：3つ以上の積

この法則は3つ以上の積にも拡張できます。

$$\log_a MNL = \log_a M + \log_a N + \log_a L$$

これは法則を2回適用すれば得られます。$\log_a MNL = \log_a (MN) \cdot L = \log_a (MN) + \log_a L = \log_a M + \log_a N + \log_a L$。

3商の対数 ─ 割り算を引き算に変換する

法則の証明

具体例で確認する

$\log_3 54 - \log_3 2$ を計算してみましょう。

$$\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \frac{54}{2} = \log_3 27 = 3$$

このように、商の法則を使うと真数を簡単にしてから計算できます。

$\log_a \frac{1}{N}$ の公式

商の法則で $M = 1$ とすると、便利な公式が得られます。

$$\log_a \frac{1}{N} = \log_a 1 - \log_a N = 0 - \log_a N = -\log_a N$$

4べき乗の対数 ─ 指数を「前に出す」法則

法則の証明

具体例で確認する

$\log_2 8^5$ を計算してみましょう。

$$\log_2 8^5 = 5 \log_2 8 = 5 \times 3 = 15$$

確認：$8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ なので $\log_2 2^{15} = 15$。一致します。

$k$ が分数の場合

$k$ は実数なので、分数でも使えます。特に $k = \frac{1}{n}$ のとき、$M^{1/n} = \sqrt[n]{M}$ ですから、

$$\log_a \sqrt[n]{M} = \log_a M^{1/n} = \frac{1}{n} \log_a M$$

例えば、$\log_3 \sqrt{27} = \frac{1}{2} \log_3 27 = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$ です。

便利な公式：$a^{\log_a M} = M$

対数の定義 $a^p = M$（ただし $p = \log_a M$）から、次の等式が直ちに従います。

$$a^{\log_a M} = M$$

これは「$a$ を $\log_a M$ 乗すると $M$ に戻る」ということです。対数をとる操作と、底のべき乗にする操作は逆操作の関係にあります。

5計算法則の活用 ─ 式変形のテクニック

法則の使い方：展開と集約

3つの法則は「2つの方向」に使えます。

• 展開（分解）：$\log_a MN$ → $\log_a M + \log_a N$（1つの対数を複数に分ける）
• 集約（統合）：$\log_a M + \log_a N$ → $\log_a MN$（複数の対数を1つにまとめる）

問題によって、どちらの方向に変形するかを見極めることが大切です。

パターン 1：真数を素因数分解して展開する

$\log_2 24$ を $\log_2 2$ と $\log_2 3$ で表してみましょう。

$$\log_2 24 = \log_2 (2^3 \times 3) = \log_2 2^3 + \log_2 3 = 3\log_2 2 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$$

素因数分解で $24 = 2^3 \times 3$ とし、積の法則で分け、べき乗の法則で指数を前に出しました。

パターン 2：対数を1つにまとめて値を求める

$\log_3 12 + \log_3 \frac{3}{4}$ を計算してみましょう。

$$\log_3 12 + \log_3 \frac{3}{4} = \log_3 \left(12 \times \frac{3}{4}\right) = \log_3 9 = 2$$

積の法則でまとめたあと、真数が $9 = 3^2$ と簡単になりました。

パターン 3：底の変換公式との組み合わせ

底が異なる対数が混じった計算では、底の変換公式を使って底をそろえてから、計算法則を適用します。

例えば $\log_4 8$ は、底を $2$ に変換すると簡単になります。

$$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$

底の変換公式から導ける公式

底の変換公式を使うと、次の便利な公式が導けます。

(i) 底と真数の交換

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

底の変換公式で $c = b$ とすると、$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}$ です。

(ii) 連鎖公式

$$\log_a b \times \log_b c = \log_a c$$

底を $a$ に統一すると、$\log_a b \times \frac{\log_a c}{\log_a b} = \log_a c$ と確かめられます。