複素数のかけ算を直交形式（$a + bi$）で計算すると、展開して整理するだけの作業です。しかし極形式を使うと、かけ算の幾何学的意味が鮮明に見えてきます。「絶対値はかけ算、偏角は足し算」── この法則を理解すれば、複素数の積・商は「回転と拡大」にほかならないことがわかります。
$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$、$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ の積を計算してみましょう。
$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$
$= r_1 r_2 [(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + i(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2)]$
加法定理から：
$$z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$$
$$z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$$
すなわち：$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$、$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$
※ 偏角の等式は $2\pi$ の整数倍を除いて成立します。
この公式は加法定理の帰結ですが、その意味はもっと深いものです。
複素数のかけ算は「回転して拡大する」操作です。$z_2$ をかけると、$z_1$ を原点の周りに角度 $\theta_2$ だけ回転させ、長さを $r_2$ 倍にします。かけ算に「回転」という幾何学的意味があることが、複素数の最も美しい性質です。
$z_1 = 1 + i$、$z_2 = \sqrt{3} + i$ の積を極形式で計算してみます。
$z_1 = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$、$z_2 = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ だから：
$$z_1 z_2 = 2\sqrt{2}\!\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$$
直交形式で計算すると $z_1 z_2 = (1+i)(\sqrt{3}+i) = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i$ です。極形式を使えば、絶対値と偏角が瞬時にわかります。
✗ $\arg z_1 = \dfrac{5\pi}{4}$, $\arg z_2 = \dfrac{5\pi}{4}$ のとき、$\arg(z_1 z_2) = \dfrac{5\pi}{2}$ とそのまま答える
○ $\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi$ なので、主値は $\arg(z_1 z_2) = \dfrac{\pi}{2}$
偏角は $2\pi$ ごとに同じ角度を表すので、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に収めましょう。
積の公式から、商の公式は自然に導かれます。$z_2 \neq 0$ のとき：
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$$
すなわち：$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$、$\arg\dfrac{z_1}{z_2} = \arg z_1 - \arg z_2$
$\dfrac{z_1}{z_2} = z_1 \cdot z_2^{-1}$ と考える。
$z_2^{-1} = \dfrac{1}{r_2}(\cos(-\theta_2) + i\sin(-\theta_2)) = \dfrac{1}{r_2}(\cos\theta_2 - i\sin\theta_2)$
積の公式より $z_1 \cdot z_2^{-1} = \dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$。□
商では偏角が「引き算」になるので、割り算は逆回転に対応します。$z_2$ で割ることは、角度 $\theta_2$ だけ逆回転させ、長さを $\dfrac{1}{r_2}$ 倍にすることです。
✗ $z_2 = 2(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3})$ の逆数の偏角を $\dfrac{1}{\pi/3}$ とする
○ $z_2^{-1}$ の偏角は $-\dfrac{\pi}{3}$（主値では $\dfrac{5\pi}{3}$）、絶対値は $\dfrac{1}{2}$
逆数の偏角は元の偏角の「符号を変えた」もの（逆回転）です。分数計算ではありません。
$z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2}$ という公式は、$z$ の逆数が「共役をとって（実軸で折り返して）、絶対値の2乗で割る」操作であることを示します。
単位円上（$|z| = 1$）では $z^{-1} = \bar{z}$ となり、逆数と共役が一致するという美しい性質が成り立ちます。
極形式の積・商の公式を、幾何学の観点から掘り下げてみましょう。
複素数 $\alpha = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ を $z$ にかける操作 $w = \alpha z$ を考えます。これは：
特に $|\alpha| = 1$（$\alpha$ が単位円上）のとき、$\alpha$ をかける操作は純粋な回転になります。拡大・縮小は起こりません。
点 $z$ を原点中心に角度 $\phi$ だけ回転した点は：
$$w = (\cos\phi + i\sin\phi)\,z$$
※ $i$ をかけることは $\phi = \dfrac{\pi}{2}$ の回転に対応します。$i \cdot z$ で点 $z$ は $90°$ 回転します。
$i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}$ なので、$i$ をかけることは偏角を $\dfrac{\pi}{2}$ だけ増やすこと、すなわち $90°$ の反時計回りの回転に対応します。実際、$z = a + bi$ に $i$ をかけると $iz = -b + ai$ となり、$(a, b)$ が $(-b, a)$ に移ります。これは原点中心の $90°$ 回転そのものです。
✗ 点 $z$ を点 $c$ 中心に角度 $\phi$ 回転 → $w = (\cos\phi + i\sin\phi)\,z$
○ $w - c = (\cos\phi + i\sin\phi)(z - c)$、すなわち $w = (\cos\phi + i\sin\phi)(z - c) + c$
回転の中心が原点でないときは、一度中心を原点に移動してから回転し、元に戻す手順が必要です。
$(\cos\phi + i\sin\phi)(a + bi) = (a\cos\phi - b\sin\phi) + (a\sin\phi + b\cos\phi)i$ は、行列で書くと $\begin{pmatrix}\cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ と同じです。つまり、複素数のかけ算は回転行列そのものなのです。大学の線形代数では、この対応がさらに深く探求されます。
極形式から導かれる絶対値の性質を整理します。これらは直交形式でも直接証明できますが、極形式なら自明です。
(1) $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$（絶対値の積）
(2) $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）（絶対値の商）
(3) $|z^n| = |z|^n$（$n$ は整数）
(4) $|z_1 z_2 \cdots z_n| = |z_1| \cdot |z_2| \cdots |z_n|$
$z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ とする。
$|z_1 z_2|^2 = z_1 z_2 \cdot \overline{z_1 z_2} = z_1 z_2 \cdot \bar{z}_1 \bar{z}_2 = (z_1 \bar{z}_1)(z_2 \bar{z}_2) = |z_1|^2 |z_2|^2$
両辺正なので $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$。□
この証明では $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2$（前節の性質）を使いました。このように、共役複素数の性質と絶対値の性質は密接に結びついています。
内積のように展開できる公式を紹介します。
$$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar{z}_1 + \bar{z}_2) = |z_1|^2 + z_1\bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2 + |z_2|^2 = |z_1|^2 + 2\operatorname{Re}(z_1\bar{z}_2) + |z_2|^2$$
ここで $\operatorname{Re}(w)$ は $w$ の実部を表します。$z_1\bar{z}_2 + \overline{z_1\bar{z}_2} = 2\operatorname{Re}(z_1\bar{z}_2)$ を使いました。
$z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ のとき $\operatorname{Re}(z_1\bar{z}_2) = ac + bd$。これはベクトル $(a, b)$ と $(c, d)$ の内積そのものです。
したがって $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + 2\operatorname{Re}(z_1\bar{z}_2) + |z_2|^2$ は、ベクトルの「余弦定理」に対応しています。
✗ $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ → 交差項 $2\operatorname{Re}(z_1\bar{z}_2)$ を忘れている
○ $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + 2\operatorname{Re}(z_1\bar{z}_2) + |z_2|^2$
$|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ が成り立つのは $\operatorname{Re}(z_1\bar{z}_2) = 0$、つまり $z_1$ と $z_2$ が「直交」（偏角の差が $\dfrac{\pi}{2}$）するときだけです。
ここまで学んだ積・商の幾何学的意味を使うと、複素数平面上の点の移動を簡潔に表現できます。
| 変換 | 複素数の式 | 説明 |
|---|---|---|
| 原点中心の回転 | $w = (\cos\phi + i\sin\phi)\,z$ | 角度 $\phi$ の回転 |
| 点 $c$ 中心の回転 | $w - c = (\cos\phi + i\sin\phi)(z - c)$ | $c$ を中心に回転 |
| 実軸対称 | $w = \bar{z}$ | 共役をとる |
| 原点対称 | $w = -z$ | $\pi$ 回転 |
| 拡大 | $w = rz$（$r > 0$ の実数） | 原点中心に $r$ 倍 |
| 平行移動 | $w = z + \alpha$ | $\alpha$ だけ移動 |
正三角形や正方形の頂点を求める問題では、回転の式 $w - c = (\cos\phi + i\sin\phi)(z - c)$ が威力を発揮します。
2点 $z_1, z_2$ を2頂点とする正三角形の第3の頂点 $z_3$ を求めてみましょう。$z_1$ を中心に $z_2$ を $\pm 60°$ 回転させればよいので：
$$z_3 - z_1 = \left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)(z_2 - z_1) \quad \text{または} \quad z_3 - z_1 = \left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right)(z_2 - z_1)$$
これにより $z_3$ の2つの候補が得られます（$z_1, z_2$ を通る直線の両側に1つずつ）。
$w = \dfrac{az + b}{cz + d}$（$ad - bc \neq 0$）の形の変換をメビウス変換（一次分数変換）と呼びます。回転・拡大・平行移動はすべてメビウス変換の特殊ケースです。大学の複素解析では、メビウス変換が円を円に移す（直線は半径無限大の円と見なす）という美しい性質が証明されます。
✗ 正三角形の第3頂点は1つだけ → 2つの候補を忘れている
○ $+60°$ 回転と $-60°$ 回転で2つの候補が得られる。問題の条件でどちらかを選ぶ
「反時計回り」と指定があれば1つに定まりますが、指定がなければ2つとも答えましょう。
Q1. $z_1 = 2(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4})$, $z_2 = 3(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6})$ のとき $z_1 z_2$ の絶対値と偏角は？
Q2. $z = 1 + i$ に $i$ をかけると、どの点に移るか。
Q3. $|z| = 1$ のとき、$z^{-1}$ を $\bar{z}$ で表せ。
Q4. 点 $z$ を原点中心に $\dfrac{\pi}{3}$ 回転した点を複素数で表せ。
Q5. $|z_1 + z_2|^2$ を $|z_1|^2, |z_2|^2$ と $z_1\bar{z}_2$ で表せ。
$z_1 = 1 + \sqrt{3}\,i$、$z_2 = \sqrt{3} + i$ のとき、$z_1 z_2$ と $\dfrac{z_1}{z_2}$ を極形式と直交形式の両方で求めよ。
$z_1 = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$、$z_2 = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$
積：$z_1 z_2 = 4\!\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 4i$
直交形式：$(1+\sqrt{3}\,i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{3} + i + 3i + \sqrt{3}\,i^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (1+3)i = 4i$ ✓
商：$\dfrac{z_1}{z_2} = 1 \cdot \left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i$
方針：問題の条件を整理し、段階的に計算を進める。